Freie Ladungsträger
Multipliziert man die Anzahl der besetzbaren Zustände Nv(W) eines bestimmten Energieniveaus W mit der Wahrscheinlichkeit F(W), mit der sich ein Elektron in diesem Energieniveau befindet, so erhält man die Ladungsträgerdichte nw(W) bzw. pw(W) bezogen auf die Energie W. Die Ladungsträgerdichte n0 bzw. p0 erhält man schließlich durch Integration von nw bzw. pw über die Energie W. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron einen bestimmten Energiezustand einnimmt, ist durch die Fermiverteilung F(W) gegeben, entsprechend gibt 1-F(W) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Loch die Energie W hat.Das Applet zeigt, wie diese Größen von der Temperatur T und insbesondere von der Lage des Ferminiveaus Wf abhängen.
Man sieht:
- Liegt das Ferminiveau in der Mitte zwischen Valenz- und Leitungsbandkante (undotierter Halbleiter), so sind die Kurven nw und pw symmetrisch zu Wf. Insbesondere sind die Flächen unter den beiden Kurven und damit die Anzahl der freien Ladungsträger n0 und p0 gleich groß.
- Eine Erhöhung der Temperatur führt wegen des sich ändernden Verlaufes der Fermiverteilung zu einer Erhöhung beider Trägerdichten.
- Bei einem n-dotierten Halbleiter, bei dem das Ferminiveau Wf und damit die gesamte Kurve F(W) nach oben verschoben ist, ergibt die Multiplikation und anschließende Integration der Kurven einen höheren Wert für die Elektronendichte n0 und einen kleineren Wert für die Löcherdichte p0. Umgekehrtes gilt für einem p-Typ Halbleiter. Die Lage des Ferminiveaus Wf bestimmt also unmittelbar die Trägerdichten im thermodynamischen Gleichgewicht.
Diese Zusammenhänge lassen sich auch recht einfach mathematisch beschreiben, da die Fermiverteilung F(W) und die Zustandsdichte N(W) bekannte Funktionen sind. Multiplikation und Integration führt auf die wichtigen Gleichungen:
,
mit den "äquivalenten Zustandsdichten" Nv und Nc, in denen alle Konstanten zusammengefasst sind. Diese einfachen Beziehungen geben somit die gesuchten Gleichgewichtsdichten n0 und p0 direkt in Abhängigkeit von der Lage des Ferminiveaus Wf und der Temperatur T an.